一、计数的两条基本原理
整个组合数学，说到底建立在两条几乎不言自明的原理上。
加法原理。如果一件事有 m 种做法或 n 种做法（两类不重叠），总共 m + n 种。
乘法原理。如果一件事分两步完成，第一步 m 种选择，每种选择下第二步都有 n 种，总共 m × n 种。
下面所有公式都只是这两条的反复应用。
二、排列：顺序算数
从 n 个不同的球里依次取出 k 个排成一列，有多少种排法？
第一个位置有 n 种选择；选完后剩 n−1 个，第二个位置有 n−1 种；以此类推，第 k 个位置有 n−k+1 种。由乘法原理：
k 个因子，从 n 递减。
代入 n = 49, k = 6：
三、组合：顺序不算数
摇号装置先摇出 3 再摇出 17，和先摇出 17 再摇出 3，是同一组号码。所以上面那一百亿把同一组号码重复数了很多次——具体重复了多少次？
6 个确定的号码，能排成多少种顺序？由排列公式取 n = k = 6：
也就是说，每一组号码在那一百亿里都被数了整整 720 遍。除掉即可：
ⁿCₖ 或 (nk)，称为二项式系数。
「先多数、再除掉重复」
这是组合计数最核心的手法。直接数无序的东西很难，但数有序的东西容易；数完之后除以每个对象被重复计数的次数就行。后面超几何分布的推导用的还是这一招。
四、把 C(49,6) 算到底
不用计算器，用约分的方式手算。
分母 720 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2。逐项约分：
| 步骤 | 操作 | 结果 |
|---|---|---|
| 1 | 48 ÷ 6 | 8 |
| 2 | 45 ÷ 5 | 9 |
| 3 | 44 ÷ 4 | 11 |
| 4 | 46 ÷ 2 | 23 |
| 5 | 47 ÷ 1 | 47 |
| 6 | 剩下 49 ÷ 3 除不尽，改用 8 ÷ 3 也不行 → 把 3 留到最后 | — |
约完后分子是 49 × 8 × 47 × 23 × 9 × 11，分母剩 3。把 9 ÷ 3 = 3：
逐步相乘：
392 × 47 = 18,424
18,424 × 23 = 423,752
423,752 × 3 = 1,271,256
1,271,256 × 11 = 13,983,816
验算：10,068,347,520 ÷ 720 = 13,983,816。一致。
这就是「1398万分之一」的来源
在 49 个号码中随机抽 6 个，共有 13,983,816 种等可能的号码组合。买一注，命中全部 6 个的概率就是 1 / 13,983,816 ≈ 0.00000007153，约 七千一百五十三万分之五，即 7.15 × 10⁻⁸。
注意这个数字里没有任何经验成分，也不依赖历史数据。它只依赖两个参数：总号码数 49 和抽取个数 6。换成别的 m 选 n 规则，把数代进去重算即可——本站的组合概率计算器就是干这个的。
4.1 对称性
从公式可以直接看出 C(n, k) = C(n, n−k)：选出 6 个等价于剩下 43 个，两种描述一一对应。所以 C(49, 6) = C(49, 43)。
五、帕斯卡恒等式与三角形
二项式系数满足一条递推关系：
组合证明。盯住第 n 个球。所有 k 元子集分为两类，且不重不漏：
- 含第 n 个球：剩下要从前
n−1个里选k−1个，共C(n−1, k−1)种。 - 不含第 n 个球：全部从前
n−1个里选k个，共C(n−1, k)种。
由加法原理，两类之和就是总数。∎
把这条递推排成三角形，就是帕斯卡三角（中国称杨辉三角，见于 1261 年杨辉《详解九章算法》引贾宪之法，早于帕斯卡约四百年）。每个数等于它上方两个数之和：
| n | C(n, 0) … C(n, n) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
另外，第 n 行之和恒为 2ⁿ——因为 n 个元素的所有子集共 2ⁿ 个，按大小分类求和即得。
六、超几何分布：各等奖概率
现在算更细的问题：买一注 6 个号码，恰好命中 k 个的概率是多少？
把 49 个号码分成两堆：你选中的 6 个（记为「命中候选」），和你没选的 43 个。开奖时装置从 49 个里无放回抽 6 个。要恰好命中 k 个，意味着这 6 个开奖号里，有 k 个来自你的 6 个，有 6−k 个来自另外 43 个。
用乘法原理数一数满足条件的开奖组合数：
- 从你的 6 个里挑
k个：C(6, k)种 - 从另外 43 个里挑
6−k个：C(43, 6−k)种 - 两步独立选择，相乘
除以总数 C(49, 6)，得到超几何分布：
P(X = k) = C(K, k) · C(N−K, n−k) / C(N, n)，其中 N 为总数，K 为「特殊品」个数，n 为抽取个数。
6.1 逐项计算
以 k = 3 为例：
把 43 × 42 × 41 算清楚：43 × 42 = 1806，1806 × 41 = 74,046。除以 3! = 6 得 12,341。所以
七、完整分布表与验算
下表列出全部 7 种可能结果。所有分子都是精确整数，没有四舍五入。
| 命中 k 个 | C(6, k) | C(43, 6−k) | 组合数（乘积） | 概率 | 约合「多少注中 1 注」 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 6,096,454 | 6,096,454 | 0.435965 | 2.3 |
| 1 | 6 | 962,598 | 5,775,588 | 0.413019 | 2.4 |
| 2 | 15 | 123,410 | 1,851,150 | 0.132378 | 7.6 |
| 3 | 20 | 12,341 | 246,820 | 0.017650 | 56.7 |
| 4 | 15 | 903 | 13,545 | 0.000969 | 1,032 |
| 5 | 6 | 43 | 258 | 0.00001845 | 54,201 |
| 6 | 1 | 1 | 1 | 0.00000007153 | 13,983,816 |
| 合计 | — | — | 13,983,816 | 1.000000 | — |
合计行就是最好的验算
七个组合数相加，必须精确等于 C(49,6) = 13,983,816，一个不多一个不少。这是范德蒙德卷积恒等式的一个特例：
Σk C(K, k) · C(N−K, n−k) = C(N, n)
组合意义：从 N 个里选 n 个，按「其中有几个来自那 K 个」分类求和，必然遍历所有情况且不重复。任何超几何计算，都该用这条来自查——本站计算器每次运行都会执行这项校验。
命中个数的概率分布
49 选 6 规则，超几何分布精确值。注意纵轴是线性刻度——k ≥ 4 的柱子小到几乎看不见，这正是问题所在。
图里 k = 0 和 k = 1 两根柱子加起来接近 85%。也就是说，随便买一注，最可能发生的事情是「一个都没中或只中一个」。而 k ≥ 4 的三根柱子在图上根本画不出来——它们合计只占 0.0988%，大约千分之一。
八、期望命中个数
超几何分布的期望有一个简洁的闭式：
为什么是这个式子？用示性变量。令 Iⱼ = 1 表示你的第 j 个号码被开出，否则为 0。由对称性，任一特定号码被开出的概率是 6/49，所以 E[Iⱼ] = 6/49。命中总数 X = I₁ + ⋯ + I₆，由期望的线性性：
线性性不需要独立
这些 Iⱼ 之间并不独立（无放回抽样，见《独立事件与条件概率》第八节），但期望的线性性对任意随机变量都成立，不需要独立性。
这一点在《期望值与返奖率》里会变成一个决定性的论证：正因为线性性不挑条件，任何下注组合方式——无论多复杂、无论怎样选号——的总期望都只是各注期望之和，谁也逃不掉。
方差的公式为（含有限总体修正因子）：
最后那个因子 (N−n)/(N−1) = 43/48 ≈ 0.896 就是无放回带来的修正：方差比同参数的二项分布小约 10%。这是因为无放回抽样中各次结果存在负相关，互相抵消了一部分波动。
九、这个数字到底有多大
13,983,816 这个数写出来只有八位，看着不吓人。换几个参照物：
| 表述方式 | 具体数值 |
|---|---|
| 逐格搜索 | 把 13,983,816 个格子排成方阵，边长约 3,740 格；在其中找一个特定格子 |
| 连续时间 | 每秒看一注，不吃不睡不间断，需要约 162 天才能看完全部组合 |
| 抛硬币 | 大致相当于连抛 23.7 次全部正面（2²³·⁷ ≈ 1.4 × 10⁷） |
| 每周买一注 | 期望等待时间约 26.9 万年（13,983,816 ÷ 52） |
| 面积类比 | 在一个标准足球场（约 7,140 m²）上任撒一粒芝麻，正好落在指定的 0.5 mm² 上 |
「买多注」能改善多少
买 m 注不同的号码，命中概率精确等于 m / 13,983,816——线性增长，没有任何加速。
买 100 注，概率从 7.15 × 10⁻⁸ 变成 7.15 × 10⁻⁶，仍然是十四万分之一。要让概率达到 50%，需要买约 699 万注。而每一注的期望回报都是负的（见《期望值与返奖率》），所以买得越多，期望损失越大——概率的线性增长和损失的线性增长是同一条直线的两种读法。
9.1 那些「缩水」「杀号」技巧为什么无效
有一类说法是：通过某种规则先排除一部分号码，把 C(49,6) 缩小到一个更小的集合，从而提高命中率。
这在数学上的问题很直接：被排除的组合，和被保留的组合，中奖概率完全一样，都是 1/13,983,816。缩小候选集不会改变每注的概率，只改变你买了几注。如果最终仍然买 m 注，命中概率仍是 m/13,983,816；如果排除规则不巧把真正的中奖组合排除在外，概率反而变成 0。
唯一真实存在的效应是与他人分享奖金：如果很多人偏好同一类号码（生日集中在 1–31、连号、对称图案），那么选择冷门组合在中奖之后可以少分一些。但这不改变中奖概率本身，只影响条件期望。
延伸阅读与参考
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1 (3rd ed.). 第 2 章组合分析；第 2.6 节超几何分布。
- Graham, R. L., Knuth, D. E., & Patashnik, O. Concrete Mathematics (2nd ed.). 第 5 章二项式系数，含范德蒙德卷积的多种证明。
- Stanley, R. P. Enumerative Combinatorics, Vol. 1 (2nd ed.). 计数理论的标准参考。
- Ross, S. A First Course in Probability (10th ed.). 第 1 章组合分析；第 4.8.3 节超几何随机变量。
- 杨辉《详解九章算法》(1261)，其中记载贾宪「开方作法本源图」，即帕斯卡三角。
- Vandermonde, A.-T. (1772). Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres. 范德蒙德卷积的原始出处。